Đề thi học sinh giỏi vòng trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Lý Thường Kiệt (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT 
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
 NĂM HỌC: 2017- 2018
 MÔN: TOÁN 9
 THỜI GIAN BÀI LÀM: 120 phút 
ĐỀ BÀI
 Bài 1: (5,0 điểm)
 a) Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương.
 b) Chứng minh đa thức sau.
 A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n
 Bài 2: (5,0 điểm)
 Cho biểu thức A= , với .
Rút gọn A.
Tìm x sao cho A < 1
Bài 3: (5,0 điểm)
 Giải phương trình.
	a) 
b) 
Bài 4: (5,0 điểm)
 Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,và K là trung điểm của GC.
 a) Chứng minh: ADDK
 b) Tính diện tích tam giác ABC.
 *********************************
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
 Bài 1: (5,0 điểm) 
a) Số và là hai số chính phương 
 và 	(0,5điểm)
 	(0,5điểm)
 Nhưng 59 là số nguyên tố nên: 	(0,5điểm)
 Ta có : suy ra 	(0,5điểm)
 Thay vào , ta được . 	(0,25điểm)
 Vậy với thì và là hai số chính phương. 	(0,25điểm)
b) A = n3 + 3n2 + 2n 
 A = n(n2 + 3n +2) 	(0,5điểm)
 = n (n+1)(n+2) 	(0,5điểm)
 Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà ƯCLN(2,3)=1 	(0,5điểm)
 A = n (n+1)(n+3) 6 với mọi số nguyên n 	(0,5điểm)
 Vậy A = n3 + 3n2 +2n 6 với mọi số nguyên n 	(0,5điểm)
Bài 2: (5,0 điểm)
 a)	Với x > 0 thì
	và	 (0,5điểm)
	 (0,5điểm)
	Thực hiện biến đổi
A= 
=	(0,5điểm)
= 	(0,5điểm)
= 	(0,5điểm)
=	(0,5điểm)
b)	 khi * vì 	(0,5điểm)
Do đó * 	(0,5điểm)
 	 (0,5điểm) 
 	(0,5điểm)
Bài 3: Giải phương trình. (5,0 điểm)
a) 	Điều kiện 	(0,5điểm)	
	(0,5điểm)
	(0,5điểm)
	 hoặc 	(0,5điểm)
	 hoặc 	(0,5điểm)
b) (1)
	(1,0 điểm)
 	(0,5điểm)
 	(0,5điểm)
do 
 	(0,5điểm)
 Bài 4: (5,0điểm )
Hình vẽ: Vẽ hình đúng (0,5điểm)
a)Chứng minh ADDK:
Ta có (0,5điểm)
 (0,5điểm)
DK là đường trung bình tam giác BGC nên: và (1,0điểm)
Tam giác DGK có (0,5điểm)
 vuông tại D, hay ADDK (0,5điểm)
b) Tính diện tích tam giác ABC:
BG // DK, ADDK ADBG (0,5điểm)
 ; . (0,5điểm)
 (0,5điểm)