Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Ngô Quyền (Có đáp án)

Họ và tên thí sinh:..
Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1:.
PHÒNG GD & ĐT VĨNH LỢI
TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN
---&---
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2018 -2019 
MÔN: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút 
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. 
b) Cho A= a5-a = a(a2-1)(a2+1), chứng minh 
Bài 2: (5 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3)=3
Bài 3: (5 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống AC.
a) Tứ giác BEDF là hình gì? Vì sao?
b) Gọi CH và CK lần lượt là đường cao của tam giác ACB và tam giác ACD. Chứng minh: Tam giác CHK và tam giác ABC đồng dạng.
----Hết ----
Họ và tên thí sinh:..
Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1:.
PHÒNG GD & ĐT VĨNH LỢI
TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN
---&---
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2018 -2019 
MÔN: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút 
(không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: a)
Ta có :
an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 
	= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 
	= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
	= (n2 + 3n + 1)2
 viết dưới dạng bình phương nên là một số chính phương
Bài 1: b) Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5:
Ta có : 
a5-a = a( a2-1)(a2+1) 
	= a(a2-1)(a2- 4 +5) 
	= a(a2-1)(a2-4) + 5a(a2-1) 
 = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a(a2-1) 
Mà: a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
và 5a(a2-1) 5 
Do đó: a5-a 5
Bài 2: a) Giải phương trình: 
 (1)
Do:
Nên: 
Do (1) nên dấu “=” phải xãy ra.
Nên:
(1) 
b) Giải phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3)=3
 (2)
Đặt: , pt (2) tương đương với phương trình sau: 
Với y = 1
Với y = -3
 phương trình vô nghiệm
Bài 3: a) Giải phương trình: 
 (3)
Đặt : , ta có:
(3) 
y= - 7 (loại)
Với y = 6, ta có: t/m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của (với )
Vậy 
minA =2 khi: 
Bài 4: a) Tam giác BEDF là hình gì? Vì sao?
Tam giác ABE và tam giác và CDF, ta có: 
 (cặp góc so le trong do AB//CD)
AB = CD (cặp cạnh đối của hình bình hành)
Nên: (cạnh huyền, góc nhọn)
 (1)
BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác CHK và tam giác ABC đồng dạng.
Ta có: (cùng bù với ) (1)
Ta có: ( cùng bằng với )
Suy ra: ~ (g.g)
 hay: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CHK ~ BCA (c.g.c)
Học sinh có thể làm cách khác đúng vẫn đạt điểm theo hướng dẫn chấm
---Hết ---