Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Long Thành

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9
(Học kỳ 2 năm học 2019 – 2020)
A. ĐẠI SỐ
I. HÀM SỐ y= ax2 
1. Lý thuyết
Hàm số y = ax2(a0) có những tính chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
Nếu a 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
 x
0
y = ax2
0
Dựa và bảng giá trị vẽ (P).
2.Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số : y = ax	( P )
a) Tìm a để ( P ) qua A ( 2; 2 ) 
b) Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 với a tìm được ở câu a.
Bài 2: 
a)Xác định hàm số y = ax, biết đồ thị hàm số đi qua B(-1;-2)
b) Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 vừa tìm được ở câu a.
Bài 3: Cho hàm số y = ax2. hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau :
a) Đồ thị của hàm số đi qua M(-2 ;-2)
b) Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ bằng -1
c) Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm có tung độ bằng 2
II. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lý thuyết
* Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát: (1) 
*Dạng khuyết: ; 
* Cách giải :
+ Bằng cách nhẩm các nghiêm của phương trình bậc hai 
 - Dùng hệ thức vi - ét (nếu PT có nghiệm, tức là ≥ 0 hoặc a.c < 0)
 - Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 và x2 = 
 - Nếu a – b + c = 0 thì x1 = - 1 và x2 = 
+ Bằng cách dùng công thức nghiệm :
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn (b = 2b’)
Bước 1: Tính 
Bước 2: Xét dấu của 
- Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép
- Nếu > 0 thì p.trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 ; 
Bước 1: Tính 
Bước 2: Xét dấu của 
- Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép
- Nếu > 0 thì p.trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 ; 
*Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thì 
Định lý đảo: Nếu u, v là 2 nghiệm của PT x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
2.Bài tâp:
Bài 1: Cho các PT: 3x – 4 + x2 = 0 ; 5 – 2x2 + x3 = 0
Phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Hãy xác định hệ số a, b, c của phương trình đó.
Bài 2: Giải các phương trình sau: ( bằng cách nhẩm nghiệm)
a) x2 + 3x – 4 = 0 
b) x2 – 2x – 3 = 0
c) 3x2 - 12x – 15 = 0 
d) 2x2 - 3x – 5 = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau
 a) 3x2 – 7x + 2 = 0 
b) 4x2 - 12x - 7 = 0 
 c) x2 + 4x – 12 = 0 
d) 2x2 – 5x + 2 = 0
 e) 4x2 – 4x + 1 = 0
f) x2 – 4x + 5 = 0
Bài 4: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0 (1). Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
 a) .	 b).	 	 c) 	 d) 
	Giải:
	Phương trình (1) có = 1 > 0 
pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: .
	a) = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
	b) = .
	c) = 122 – 4.35 = 4.
d) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
* Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương) 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
* Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 .
	Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
	2. = (m – 1)2 0, .
	3.
ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 |m – 1| > 0 .
Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài 5: Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x - m - 4 = 0 (1) 
 a) Giải phương trình (1) khi m = 1 
 b) Chứng minh rằng pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
Bài 6: Cho PT (1) 
 a) Giải PT với m = 9
 b) Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm
 c) Tìm m để PT có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 
Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0 (m là tham số) (1).
 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
 b ) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
 x1 - x2 =8
*Dạng toán tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (; hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9
 = (2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 
 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
Bài tập 8 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
 b) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 c) Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt. Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
HD: 	a) Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = .
	b) = (2m – 3)2 0, .
	c)
ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > 0 |2m – 3| > 0 .
Hệ thức: 2S + 4P = 1 2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.
B. HÌNH HỌC 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hãy vẽ hình minh họa các định lý, hệ quả (ở cột 3), bổ sung các ký hiệu toán học còn thiếu(ở cột 2), ghi các công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn ( mục 8, 9 cột 1) và làm bài tập áp dụng.
Định nghĩa – Định lý 
 Hệ quả
Ký hiệu toán học
(HS bổ sung những phần còn thiếu)
Hình vẽ
(HS tự vẽ hình các góc tương ứng ở cột 1)
1. Góc ở tâm: Trong một đường tròn, số đo của góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
2. Góc nội tiếp: 
* Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
* Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
4. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
6. Cung chứa góc:
* Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc không đổi là hai cung tròn chứa góc .
* Đặc biệt: 
a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB.
7. Tứ giác nội tiếp:
* Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một dường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
* Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800.
 * Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
8. Độ dài đường tròn, cung tròn:
* Chu vi đường tròn:
* Độ dài cung tròn:
9. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn:
* Diện tích hình tròn:
* Diện tích hình quạt tròn:
Bài tập áp dụng (mục 8, 9)
a) Tính diện tích quạt tròn hình tròn có bán kính 5cm và số đo cung là 300
b) Tính độ dài đường tròn biết bán kính 4cm
(Với = 3,14)
(O,R) có: ở tâm chắn 
= sđ
(O,R) có:nội tiếp chắn 
= sđ.
a) (O,R) có:
b) (O,R) có:
(O,R) có:
c) (O,R) có: 
d) (O,R) có:
nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC = 900.
(O,R) có:
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn =sđ .
(O,R) có:
(O,R) có: 
có đỉnh bên trong đường tròn 
(O,R) có: 
có đỉnh bên ngoài đường tròn 
a) cùng nhìn đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F thuộc một đường tròn đường kính AB.
* Tứ giác ABCD có A, B, C, D (O) 
ABCD là tứ giác nội tiếp (O).
* Tứ giác ABCD nội tiếp (O) 
* Tứ giác ABCD có:
ABCD là tứ giác n.tiếp
Hoặc:
ABCD là tứ giác n.tiếp
BÀI TẬP: 
Bài tập 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H ( ). Chứng minh:
Các tứ giác AEDB, CDHE nội tiếp.
CE. CA = CD.CB
OC DE.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có , cạnh AC = 6cm. Lấy điểm O thuộc cạnh AC làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính OC = 2cm cắt BC tại M và cắt AC tại K.
Chứng minh tứ giác ABMK nội tiếp.
Chứng minh: 
Tìm chu vi 
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
Chứng minh rằng:
	a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
	b) CD = CA + DB và = 900.
	c) AC. BD = R2.
 HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU	
Khái niệm
Hình vẽ
Diện tích xung quanh
Thể tích
Hình trụ
Sxq = 2..r.h
Stp = 2..r.h + .r2
V = .r 2.h
Hình nón
Sxq = .r.l
Stp = .r.l + .r2
V = .r 2.h
Hình cầu
Smặt cầu = 4R2
V = 
Bài tập 4: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, chiều cao 9cm. Hãy tính: 
a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Thể tích của hình trụ.
Bài tập 5: Một hình trụ có chu vi đáy là 18cm, chiều cao 6cm. Tính thể tích hình trụ đó ?
Bài tập 6: Một hình cầu có diện tích mặt cầu là 2826cm2. Tính thể tích hình cầu.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh AC. Vẽ hình, tính diện tích xung quanh và thể tích hình được sinh ra.